原標(biāo)題：Darling，在我心里，數(shù)學(xué)才是最殘酷的浪漫

兩條平行線，哪怕再靠近，再想觸碰對(duì)方，也永遠(yuǎn)不會(huì)相交——永遠(yuǎn)

文|李北辰

今天，我想斗膽和你聊聊數(shù)學(xué)。

這篇文章分三大段：第一段講數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有點(diǎn)枯燥和抽象，但只有1000字，而且沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)公式，值得你費(fèi)些力氣讀完；讀不完就跳到第二段，那里比較通俗和甜膩。

不過(guò)前兩段都是鋪墊，我誠(chéng)摯地邀請(qǐng)你，去讀第三段，那里有個(gè)飛蛾撲火的浪漫故事。

1

你應(yīng)該知道，數(shù)學(xué)是純抽象的產(chǎn)物，不依賴任何現(xiàn)實(shí)事物。

比如，現(xiàn)實(shí)世界里有真正的“直線”嗎？

沒(méi)有，“直線”只是個(gè)抽象概念，你身邊沒(méi)有一條絕對(duì)平直、沒(méi)寬度、無(wú)限長(zhǎng)的“直線”。同理，你身邊也沒(méi)有一個(gè)“完美”的圓或者直角三角形。

數(shù)學(xué)里有，數(shù)學(xué)是完全基于邏輯的客觀存在，這讓它有別于基于“邏輯+實(shí)驗(yàn)”的自然科學(xué)。

自然科學(xué)有一個(gè)樸素到極致，以至于很晚才被科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的事實(shí)：科學(xué)里的任何定律，都依賴于人的參與，沒(méi)有人的觀測(cè)參與，這些定律根本不存在。

比如牛頓說(shuō)引力是一種平方反比有心力，廣義相對(duì)論說(shuō)根本沒(méi)有啥引力，大質(zhì)量天體的作用是彎曲了周?chē)鷷r(shí)空，前者的適用范圍不如后者，但牛頓和愛(ài)因斯坦都沒(méi)有錯(cuò)，他們提供的，只是兩種解釋世界的模型，甚至可以說(shuō)是兩種“發(fā)明”。

數(shù)學(xué)不是這樣，任何數(shù)學(xué)知識(shí)，都只是被數(shù)學(xué)家“發(fā)現(xiàn)”，而非被“發(fā)明”。

這是因?yàn)?，?shù)學(xué)自己就是自己的推動(dòng)力。

我給你舉個(gè)例子。

只要你“講理”，一個(gè)蘋(píng)果加一個(gè)蘋(píng)果就永遠(yuǎn)等于兩個(gè)蘋(píng)果，兩個(gè)蘋(píng)果減一個(gè)蘋(píng)果永遠(yuǎn)等于一個(gè)蘋(píng)果，這就有了自然數(shù)的加減法。

有了減法，就自然會(huì)有“負(fù)數(shù)”概念；為了快速算加法，就有了乘法；有了乘法，就有了平方；有了平方，就會(huì)有人想到開(kāi)方；當(dāng)有古希臘好事者想對(duì)2開(kāi)方，就有了引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的無(wú)理數(shù)……

你發(fā)現(xiàn)了嗎？這些推導(dǎo)都是數(shù)學(xué)自身驅(qū)動(dòng)的。

整整一座壯美的數(shù)學(xué)大廈，以及大廈里無(wú)窮的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——早就，已經(jīng)，永恒，存在，在那里，等待著被人類(lèi)發(fā)現(xiàn)，索取，利用。

無(wú)論人類(lèi)存在與否，時(shí)間存在與否，空間存在與否，數(shù)學(xué)都永遠(yuǎn)存在。平面內(nèi)距一個(gè)定點(diǎn)等長(zhǎng)所有點(diǎn)的集合是圓，周長(zhǎng)和直徑比是 π，只要宇宙臣服于邏輯，這個(gè)事實(shí)就永恒不變。

但請(qǐng)注意，如果你是一個(gè)邏輯感很強(qiáng)的人，會(huì)發(fā)現(xiàn)在我剛才的論述里，屢次用到“只要你講理”，“只要宇宙臣服于邏輯”等前提假設(shè)。

這是因?yàn)?，即便是世間最理性的存在，數(shù)學(xué)也仍是一種“信仰”。

這是因?yàn)椋?strong>人類(lèi)已知的一切“證明”行為，都需要用到邏輯，但我們無(wú)法跳出邏輯，去“證明”邏輯自身的正確性。

比如奠定整個(gè)歐式幾何大廈的，是包括“兩點(diǎn)間只能有一條直線”等幾條無(wú)需證明的公理，但數(shù)學(xué)家對(duì)待公理的態(tài)度更像一種信仰，他們既無(wú)法證明公理的正確性，也無(wú)法證明邏輯本身的可靠性。

歐幾里得的五條公理（圖片來(lái)源：One Universe at a Time）

因此，人類(lèi)任何一個(gè)已知結(jié)論，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，都應(yīng)該遵循同一種語(yǔ)言結(jié)構(gòu)：假設(shè) XX 條件為真，且邏輯為真的前提下，XX 結(jié)論成立。

幸或不幸，在純邏輯世界，我們尚未發(fā)現(xiàn)有什么在根本上自相矛盾的地方，我們暫且相信它。

目前為止，數(shù)學(xué)是每個(gè)理性人最該擁有的信仰。

2

前陣子，看到一篇名為《國(guó)際奧數(shù)冠軍今何在》的文章。文章標(biāo)題其實(shí)在默默假設(shè)：數(shù)學(xué)好的人應(yīng)該獲得世俗成功。

但真相是，從古至今，數(shù)學(xué)都是與現(xiàn)實(shí)利益最遠(yuǎn)的學(xué)問(wèn)。

公元前300年，古希臘，有個(gè)年輕人問(wèn)歐幾里得：學(xué)幾何有沒(méi)有什么現(xiàn)實(shí)的好處？歐幾里得聽(tīng)完，讓仆人給了他三枚銀幣，把他打發(fā)走了。

理由是：這位可憐的年輕人，居然想從數(shù)學(xué)中獲益。

但如你所知，中國(guó)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，是甄別智力的工具。這導(dǎo)致我們被數(shù)學(xué)摧殘?zhí)睿瑳](méi)有機(jī)會(huì)從數(shù)學(xué)中萃取到最純粹的智力愉悅。

我還記得，大學(xué)第二學(xué)期，我高數(shù)和線性代數(shù)接近滿分，但我當(dāng)時(shí)并未體會(huì)到任何數(shù)學(xué)之美，微積分那么沁人心脾的思想，我感受不到。

我這輩子最大的智識(shí)遺憾，就是沒(méi)有能力擠進(jìn)數(shù)學(xué)大廈，只能站在門(mén)外，贊嘆。

那除了贊嘆，普通人還有其他感受數(shù)學(xué)魅力的方法嗎？

有的，那就是：想象數(shù)學(xué)的浪漫。

請(qǐng)注意，我這里說(shuō)的浪漫，是這種嗎？

是這種嗎？

還是這種？

都不是。

這些所謂的“浪漫公式”，和浪漫沒(méi)有一點(diǎn)關(guān)系，小孩子發(fā)這個(gè)是甜膩，成年人發(fā)這個(gè)是油膩，都是戀愛(ài)時(shí)在冒傻氣。

我說(shuō)的浪漫，是基于絕對(duì)理性的浪漫。

什么是絕對(duì)理性？

這又得回到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

物理學(xué)家費(fèi)曼說(shuō)：數(shù)學(xué)的輝煌就在于，當(dāng)我們談?wù)撍臅r(shí)候，不必再解釋我們?cè)谡務(wù)撌裁础?/p>

我理解費(fèi)曼的意思是說(shuō)，任何其他領(lǐng)域的創(chuàng)作者，都要“依托”點(diǎn)別的什么東西，去“放大”他的創(chuàng)造。

科普作家卓克就舉過(guò)一個(gè)例子：“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”的核心思想，其實(shí)只不過(guò)是“那條瀑布比較大，水比較盛，令人感慨”，文盲站在瀑布底下也會(huì)有相似的想法，它能成為名句，是因?yàn)槔畎滓劳行揶o等思想之外的東西，放大了他的創(chuàng)造。

數(shù)學(xué)不這樣，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造，不依托任何思想之外的事物，只依賴于“純思想”，完全不受任何情感因素左右。

但在我看來(lái)，當(dāng)這種基于純思想的“絕對(duì)理性”，被賦予某種抒情性；當(dāng)一個(gè)人的“感性與詩(shī)意”，是建立在“理性與邏輯”的基礎(chǔ)上，那么就會(huì)瞬間感受到數(shù)學(xué)的浪漫，殘酷的浪漫。

?

3

你肯定聽(tīng)說(shuō)過(guò)飛蛾撲火。

“愛(ài)到飛蛾撲火，是種墮落”，好在大自然里的飛蛾撲火，不是為了愛(ài)情，而僅僅是因?yàn)椋朐谝雇怼白咧本€”。

夜間的蛾子，想要沿直線飛行，唯有借助月光，它只要確保自己的運(yùn)動(dòng)方向，跟光線一直保持穩(wěn)定的夾角，就基本能沿直線飛行。

這是因?yàn)椋铝岭x飛蛾很遠(yuǎn)，在這種距離尺度下，月光撒向地面，每一縷月光跟每一縷月光都近乎平行，飛蛾只要與光線保持固定的夾角，就一定能近似飛出一條直線。

這是億萬(wàn)年來(lái)大自然教給它們的飛行技巧。

然而不幸的是，大自然尚未有足夠的時(shí)間告訴它們：只有在人類(lèi)出現(xiàn)前，月光才是夜晚最耀眼的光芒，當(dāng)人類(lèi)在夜晚燃起火光，其發(fā)出的光芒遠(yuǎn)比月光更亮，飛蛾很自然地就把它當(dāng)做夜晚的路標(biāo)。

此時(shí)，一縷一縷的火光，就再也不是平行的了。

這種輻射狀的光芒，讓飛蛾感到慌張，但它仍然固執(zhí)地遵循著曾讓它永遠(yuǎn)向前的飛行技巧，保持跟每一縷光線相同的夾角，一直飛，一直飛，一圈，一圈地旋轉(zhuǎn)。

最終，墜入火海編織的牢籠。

在數(shù)學(xué)上，飛蛾撲火的這種路線，叫做斐波那契螺旋線。

斐波那契螺旋線在地球中普遍存在，這是因?yàn)樵谖覀兊默F(xiàn)實(shí)世界，不存在兩條“絕對(duì)平行”的直線。

就拿飛蛾撲火來(lái)說(shuō)，我們假設(shè)在夜晚，飛蛾的體能極限是 400 公里，相較于它與月亮之間的距離，在這個(gè)尺度下，月光仍然是近乎平行的。

但假設(shè)，世界上突然有一只變異的飛蛾，它就像飛蛾族群里的“變種人”，擁有無(wú)限的體能，可以飛行 40 萬(wàn)公里，且過(guò)程中能不受任何外力約束，那你知道，在理論上，它最終會(huì)去向哪里嗎？

它會(huì)遵循斐波那契螺旋線，螺旋式地，墜落到月亮上。

而月亮，正是在每個(gè)地球的夜晚，一直為它默默“點(diǎn)燈”的光源。

如果它最終落在——并最終死在月亮上，或許，也會(huì)覺(jué)得自己是“驕傲的，偉大的”。

所以這個(gè)結(jié)局不算傷感。

那你知道，比“飛蛾與月亮”更傷感的是什么嗎？

是數(shù)學(xué)。

在歐幾里得“第五共設(shè)”的約束下，平面上任意兩條直線，要么平行，要么只能相交一次。

這意味著，至少在平面幾何里，兩條平行線，哪怕再靠近，再想觸碰對(duì)方，也永遠(yuǎn)不會(huì)相交——永遠(yuǎn)。

但這還不是全部的殘酷，在我心里，比兩條平行線更傷感的，是兩條直線。

在平面幾何里，任意兩條直線，僅僅相交一次，互相打了個(gè)照面，就漸行漸遠(yuǎn)，永遠(yuǎn)不會(huì)相見(jiàn)——永遠(yuǎn)。

這就好比兩個(gè)剛認(rèn)識(shí)的人，剛說(shuō)完一句“Hi，晚上好，很高興認(rèn)識(shí)你”，然后就瞬間分道揚(yáng)鑣，連句“晚安”都還沒(méi)來(lái)得及說(shuō)，就匆匆而過(guò)。

從此，你走你的，我走我的，再無(wú)交集。

對(duì)我來(lái)說(shuō)，這才是世界上最浪漫的殘酷。

或者說(shuō)，最殘酷的浪漫。

作者：李北辰，獨(dú)立撰稿人，關(guān)心技術(shù)，觀念，與詩(shī)意。同名微信公眾號(hào)：李北辰

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