數(shù)學(xué)家利用人工智能在橢圓曲線中發(fā)現(xiàn)了意想不到的模式，這些模式類似于鳥類集體飛行的形態(tài)，被命名為“murmurations”。這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)不僅加深了人們對(duì)橢圓曲線的理解，也為解決千禧年難題之一——Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想提供了新思路。
橢圓曲線是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最令人著迷的對(duì)象之一。它們看起來并不復(fù)雜，但卻在高中數(shù)學(xué)和最深?yuàn)W的研究數(shù)學(xué)之間架起了一座橋梁。在上世紀(jì) 90 年代，橢圓曲線在 Andrew Wiles 證明費(fèi)馬大定理的過程中發(fā)揮了核心作用。它們是現(xiàn)代密碼學(xué)中的關(guān)鍵工具。2000 年，克萊數(shù)學(xué)研究所將橢圓曲線的統(tǒng)計(jì)特性猜想列為七個(gè)“千禧年難題”之一，每個(gè)難題的解決都能獲得一百萬美元的獎(jiǎng)金。這個(gè)由 Bryan Birch 和 Peter Swinnerton-Dyer 在 1960 年代首次提出的猜想至今仍未被證明。
理解橢圓曲線是一項(xiàng)意義重大的挑戰(zhàn)，也是數(shù)學(xué)研究的核心。因此，當(dāng) 2022 年一個(gè)橫跨大西洋的合作團(tuán)隊(duì)利用統(tǒng)計(jì)技術(shù)和人工智能在橢圓曲線中發(fā)現(xiàn)了完全出乎意料的模式時(shí)，這是一個(gè)令人歡迎的、意想不到的貢獻(xiàn)?！皺C(jī)器學(xué)習(xí)遲早會(huì)帶著有趣的東西登上我們的舞臺(tái)，這只是時(shí)間問題，” 高等研究院和普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Peter Sarnak 說。最初，沒有人能解釋這些新發(fā)現(xiàn)的模式為何存在。從那以后，在一系列最近的論文中，數(shù)學(xué)家們開始解開這些模式背后的原因，并將它們命名為“murmurations”，因?yàn)樗鼈冾愃朴诔扇航Y(jié)隊(duì)的椋鳥所形成的流動(dòng)形態(tài)。他們還開始證明這些模式不僅存在于 2022 年研究的特定例子中，而且在更一般的橢圓曲線中也普遍存在。
橢圓的重要性
理解這些模式是什么，我們需要先了解一下什么是橢圓曲線以及數(shù)學(xué)家如何對(duì)它們進(jìn)行分類。
橢圓曲線將一個(gè)變量 (通常記為 y) 的平方與另一個(gè)變量 (通常記為 x) 的三次方聯(lián)系起來：y2 = x3 + Ax + B，其中 A 和 B 是滿足一定條件的兩個(gè)數(shù)字。這個(gè)方程定義了一個(gè)可以繪制在平面上的曲線，如下所示。(盡管名稱相似，橢圓 (ellipse) 并不是橢圓曲線 (elliptic curve)。)
雖然看起來很簡單，但橢圓曲線被證明是數(shù)論學(xué)家 (研究整數(shù)中模式的數(shù)學(xué)家) 的強(qiáng)大工具。數(shù)論學(xué)家不局限于讓變量 x 和 y 遍歷所有數(shù)字，而是喜歡將它們限制在不同的數(shù)系中，他們稱之為在給定的數(shù)系上定義曲線。限制在有理數(shù) (可以用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)) 上的橢圓曲線特別有用?！霸趯?shí)數(shù)或復(fù)數(shù)上，橢圓曲線相當(dāng)枯燥，” Sarnak 說，“只有有理數(shù)才深刻?！?/p>
以下是證明這一點(diǎn)的一種方法。如果你在橢圓曲線上的兩個(gè)有理點(diǎn)之間畫一條直線，這條直線再次與曲線相交的點(diǎn)也將是有理數(shù)。你可以利用這個(gè)事實(shí)來定義橢圓曲線上的“加法”，如下所示。
在 P 和 Q 之間畫一條直線。這條直線將在第三個(gè)點(diǎn) R 處與曲線相交。(對(duì)于直線不與曲線相交的情況，數(shù)學(xué)家們有一種特殊的技巧，即添加一個(gè)“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。)R 關(guān)于 x 軸的鏡像就是 P + Q 的和。通過這個(gè)加法運(yùn)算，曲線的所有解形成一個(gè)稱為群的數(shù)學(xué)對(duì)象。
數(shù)學(xué)家們利用這一點(diǎn)來定義曲線的“秩”。曲線的秩與它所擁有的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)有關(guān)。秩為 0 的曲線只有有限個(gè)解。秩更高的曲線有無限個(gè)解，這些解彼此之間的關(guān)系可以用秩來描述，并通過加法運(yùn)算來表示。
秩鮮為人知；數(shù)學(xué)家們并不總是能計(jì)算出秩，也不知道秩的最大值是多少。(已知特定曲線的最大秩為 20。)看起來相似的曲線可能具有完全不同的秩。
橢圓曲線還與素?cái)?shù) (只能被 1 和它本身整除的數(shù)) 密切相關(guān)。具體而言，數(shù)學(xué)家們研究有限域上的曲線 - 為每個(gè)素?cái)?shù)定義的循環(huán)算術(shù)系統(tǒng)。有限域就像一個(gè)時(shí)鐘，小時(shí)數(shù)等于素?cái)?shù)：如果你一直向上計(jì)數(shù)，數(shù)字會(huì)重新開始。例如，在 7 的有限域中，5 加 2 等于 0，5 加 3 等于 1。
橢圓曲線與一個(gè)稱為 ap 的數(shù)列相關(guān)，該數(shù)列與曲線在由素?cái)?shù) p 定義的有限域中的解的個(gè)數(shù)有關(guān)。ap 越小，解越多；ap 越大，解越少。雖然秩難以計(jì)算，但 ap 數(shù)列要容易得多。
基于對(duì)一臺(tái)早期計(jì)算機(jī)進(jìn)行的大量計(jì)算，Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想了一個(gè)橢圓曲線的秩與其 ap 數(shù)列之間的關(guān)系。任何能夠證明他們猜想正確的人將贏得一百萬美元和數(shù)學(xué)界的永垂不朽。
意外的模式出現(xiàn)
2020 年 8 月，倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所的研究員 Yang-Hui He 決定接受一些新的挑戰(zhàn)。他本科主修物理，并在麻省理工學(xué)院獲得了數(shù)學(xué)物理博士學(xué)位。但他對(duì)數(shù)論越來越感興趣，并且鑒于人工智能的不斷進(jìn)步，他認(rèn)為可以嘗試用人工智能作為一種工具來尋找數(shù)字中的意外模式。(他之前已經(jīng)使用機(jī)器學(xué)習(xí)來分類卡拉比-丘流形，這是一種在弦理論中被廣泛使用的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。)
2020 年 8 月，隨著疫情的加劇，諾丁漢大學(xué)邀請(qǐng)他進(jìn)行了一次線上演講。他對(duì)自己的進(jìn)展和使用機(jī)器學(xué)習(xí)來發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)的可能性并不樂觀。“他的觀點(diǎn)是，數(shù)論很難，因?yàn)槟銦o法用機(jī)器學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)數(shù)論，” 在場的西敏寺大學(xué)數(shù)學(xué)家 Thomas Oliver 說。正如 He 回憶的那樣，“我什么也找不到，因?yàn)槲也皇菍＜?。我甚至沒有用正確的工具來研究這個(gè)問題?！?/p>
Oliver 和康涅狄格大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Kyu-Hwan Lee 開始與 He 合作?！拔覀儧Q定做這件事只是為了了解機(jī)器學(xué)習(xí)是什么，而不是認(rèn)真研究數(shù)學(xué)，” Oliver 說?！暗覀兒芸彀l(fā)現(xiàn)，你可以用機(jī)器學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)很多東西?！?/p>
Oliver 和 Lee 建議 He 將他的技術(shù)應(yīng)用于研究 L 函數(shù)，這是一種與橢圓曲線密切相關(guān)的無限級(jí)數(shù)，通過 ap 數(shù)列與橢圓曲線相關(guān)聯(lián)。他們可以使用一個(gè)名為 LMFDB 的在線橢圓曲線及其相關(guān) L 函數(shù)數(shù)據(jù)庫來訓(xùn)練他們的機(jī)器學(xué)習(xí)分類器。當(dāng)時(shí)，該數(shù)據(jù)庫擁有超過 300 萬條有理數(shù)上的橢圓曲線。到 2020 年 10 月，他們發(fā)表了一篇論文，利用從 L 函數(shù)中收集的信息來預(yù)測橢圓曲線的特定性質(zhì)。11 月，他們又發(fā)表了一篇論文，利用機(jī)器學(xué)習(xí)來對(duì)數(shù)論中的其他對(duì)象進(jìn)行分類。到 12 月，他們能夠以很高的準(zhǔn)確度預(yù)測橢圓曲線的秩。
但他們并不確定為什么他們的機(jī)器學(xué)習(xí)算法如此有效。Lee 要求他的本科生 Alexey Pozdnyakov 看看他能否找出原因。碰巧的是，LMFDB 根據(jù)一個(gè)稱為導(dǎo)數(shù)的量對(duì)橢圓曲線進(jìn)行排序，該量概括了曲線在哪些素?cái)?shù)下無法正常工作的信息。因此，Pozdnyakov 嘗試同時(shí)查看具有相似導(dǎo)數(shù)的大量曲線 - 例如，所有導(dǎo)數(shù)在 7,500 和 10,000 之間的曲線。
這總共涉及約 10,000 條曲線。其中約有一半的秩為 0，另一半的秩為 1。(更高的秩極為罕見。)然后，他分別對(duì)所有秩為 0 曲線的 ap 值進(jìn)行平均，對(duì)所有秩為 1 曲線的 ap 值進(jìn)行平均，并將結(jié)果繪制出來。兩組點(diǎn)形成了兩個(gè)截然不同的、容易辨認(rèn)的波浪。這就是機(jī)器學(xué)習(xí)分類器能夠正確確定特定曲線秩的原因。
“起初，我只是覺得自己完成了任務(wù)，” Pozdnyakov 說。“但 Kyu-Hwan 立即意識(shí)到這種模式是令人驚訝的，這才變得真正令人興奮?！?/p>
Lee 和 Oliver 非常興奮?！癆lexey 向我們展示了這張圖，我說它看起來像鳥類做的那種事情，” Oliver 說?！叭缓?Kyu-Hwan 查了一下，說它叫做 murmurations，然后 Yang 說我們應(yīng)該把論文命名為 ‘Murmurations of Elliptic Curves’。”
他們?cè)?2022 年 4 月上傳了他們的論文，并轉(zhuǎn)發(fā)給了其他幾位數(shù)學(xué)家，忐忑不安地等待著被告知他們所謂的“發(fā)現(xiàn)”是眾所周知的。Oliver 說，這種關(guān)系是如此明顯，以至于應(yīng)該早就被發(fā)現(xiàn)了。
解釋模式
2023 年 8 月，Lee、He 和 Oliver 在布朗大學(xué)的數(shù)學(xué)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)研究所 (ICERM) 組織了一次關(guān)于 murmurations 的研討會(huì)。Sarnak 和 Rubinstein 以及 Sarnak 的學(xué)生 Nina Zubrilina 都參加了會(huì)議。
Zubrilina 展示了她對(duì)模形式中 murmuration 模式的研究，模形式是特殊復(fù)函數(shù)，與橢圓曲線一樣，具有相關(guān)的 L 函數(shù)。在具有大導(dǎo)數(shù)的模形式中，murmurations 會(huì)收斂成一條清晰定義的曲線，而不是形成一個(gè)可辨識(shí)但分散的模式。在 2023 年 10 月 11 日發(fā)表的一篇論文中，Zubrilina 證明了這種類型的 murmuration 遵循她發(fā)現(xiàn)的一個(gè)明確公式。
“Nina 的重大成就是她為此給出了一個(gè)公式；我稱之為 Zubrilina murmuration 密度公式，” Sarnak 說?！八梅浅＞艿臄?shù)學(xué)，證明了一個(gè)完全符合數(shù)據(jù)的精確公式?！?/p>
她的公式很復(fù)雜，但 Sarnak 稱贊它是重要的全新函數(shù)類型，可與定義物理學(xué)中各種應(yīng)用的微分方程解的 Airy 函數(shù)相媲美，應(yīng)用范圍從光學(xué)到量子力學(xué)。
雖然 Zubrilina 的公式是第一個(gè)，但其他人也緊隨其后。“現(xiàn)在每周都會(huì)發(fā)表一篇新論文，” Sarnak 說，“主要使用 Zubrilina 的工具來解釋 murmuration 的其他方面?！?/p>
布里斯托大學(xué)的 Jonathan Bober、Andrew Booker 和 Min Lee 以及 ICERM 的 David Lowry-Duda 在另一篇 10 月份的論文中證明了模形式中存在另一種類型的 murmuration。Kyu-Hwan Lee、Oliver 和 Pozdnyakov 證明了狄利克雷特征中存在 murmuration，狄利克雷特征與 L 函數(shù)密切相關(guān)。
Sutherland 對(duì)導(dǎo)致 murmuration 發(fā)現(xiàn)的重大偶然性印象深刻。如果橢圓曲線數(shù)據(jù)不是按導(dǎo)數(shù)排序，murmurations 就會(huì)消失。他說：“他們很幸運(yùn)能夠從 LMFDB 中獲取數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)庫根據(jù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了預(yù)排序?！?“這是將橢圓曲線與相應(yīng)的模形式聯(lián)系起來的原因，但這并不明顯?！?兩個(gè)看起來非常相似的曲線的導(dǎo)數(shù)可能非常不同?！?例如，Sutherland 指出 y2 = x3 – 11x + 6 的導(dǎo)數(shù)為 17，而將減號(hào)符號(hào)翻轉(zhuǎn)為加號(hào)，y2 = x3 + 11x + 6 的導(dǎo)數(shù)為 100,736。
即使這樣，murmurations 也只因 Pozdnyakov 的缺乏經(jīng)驗(yàn)而被發(fā)現(xiàn)。Oliver 說：“我認(rèn)為如果沒有他，我們不可能發(fā)現(xiàn)它，” “因?yàn)閭鹘y(tǒng)上，專家會(huì)對(duì) ap 進(jìn)行歸一化，使其絕對(duì)值為 1。但他沒有對(duì)它們進(jìn)行歸一化… 所以振蕩非常大且明顯?！?/p>
人工智能算法用于根據(jù)秩對(duì)橢圓曲線進(jìn)行排序的統(tǒng)計(jì)模式存在于具有數(shù)百個(gè)維度的參數(shù)空間中 - 這對(duì)于人們來說，即使是可視化，也無法在腦海中進(jìn)行排序，Oliver 指出。但盡管機(jī)器學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)了隱藏的振蕩，“直到后來我們才理解它們是 murmuration?！?/p>
本文譯自Quanta Magazine，由 BALI 編輯發(fā)布。
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