摘要:向量自回歸(VAR)模型的一般缺點(diǎn)是,估計(jì)系數(shù)的數(shù)量與滯后的數(shù)量成比例地增加。因此,隨著滯后次數(shù)的增加,每個(gè)參數(shù)可用的信息較少。在貝葉斯VAR文獻(xiàn)中,減輕這種所謂的維數(shù)詛咒的一種方法是隨機(jī)搜索變量選擇(SSVS),由George等人提出(2008)。
一 介紹
SSVS的基本思想是將通常使用的先驗(yàn)方差分配給應(yīng)包含在模型中的參數(shù),將不相關(guān)參數(shù)的先驗(yàn)方差接近零。這樣,通常就可以估算出相關(guān)參數(shù),并且無(wú)關(guān)變量的后驗(yàn)值接近于零,因此它們對(duì)預(yù)測(cè)和沖激響應(yīng)沒(méi)有顯著影響。這是通過(guò)在模型之前添加層次結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)的,其中在采樣算法的每個(gè)步驟中評(píng)估變量的相關(guān)性。
這篇文章介紹了使用SSVS估計(jì)貝葉斯向量自回歸(BVAR)模型。它使用Lütkepohl(2007)的數(shù)據(jù)集E1,其中包含有關(guān)1960Q1至1982Q4十億德國(guó)馬克的西德固定投資,可支配收入和消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)。加載數(shù)據(jù)并生成數(shù)據(jù):
library(bvartools) # install．packages("bvartools")# Load and transform datadata("e1")e1 <- diff(log(e1))# Generate VARdata <- gen_var(e1, p = 4, deterministic = "const")# Get data matricesy <- data$Y[, 1:71]x <- data$Z[, 1:71]
二 估算值
根據(jù)George等人所述的半自動(dòng)方法來(lái)設(shè)置參數(shù)的先驗(yàn)方差(2008)。對(duì)于所有變量,先驗(yàn)包含概率設(shè)置為0．5。誤差方差-協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息不足。
# Reset random number generator for reproducibilityset．seed(1234567)t <- ncol(y) # Number of observationsk <- nrow(y) # Number of endogenous variablesm <- k * nrow(x) # Number of estimated coefficients# Coefficient priorsa_mu_prior <- matrix(0, m) # Vector of prior means# SSVS priors (semiautomatic approach)ols <- tcrossprod(y, x) %*% solve(tcrossprod(x)) # OLS estimatessigma_ols <- tcrossprod(y - ols %*% x) / (t - nrow(x)) # OLS error covariance matrixcov_ols <- kronecker(solve(tcrossprod(x)), sigma_ols)se_ols <- matrix(sqrt(diag(cov_ols))) # OLS standard errorstau0 <- se_ols * 0．1 # Prior if excludedtau1 <- se_ols * 10 # Prior if included# Prior for inclusion parameterprob_prior <- matrix(0．5, m)# Prior for variance-covariance matrixu_sigma_df_prior <- 0 # Prior degrees of freedomu_sigma_scale_prior <- diag(0, k) # Prior covariance matrixu_sigma_df_post <- t + u_sigma_df_prior # Posterior degrees of freedom
初始參數(shù)值設(shè)置為零,這意味著在Gibbs采樣器的第一步中應(yīng)相對(duì)自由地估算所有參數(shù)。
可以直接將SSVS添加到VAR模型的標(biāo)準(zhǔn)Gibbs采樣器算法中。在此示例中,常數(shù)項(xiàng)從SSVS中排除,這可以通過(guò)指定來(lái)實(shí)現(xiàn)include = 1:36。
具有SSVS的Gibbs采樣器的輸出可以用通常的方式進(jìn)一步分析。因此,可以通過(guò)計(jì)算參數(shù)的繪制方式獲得點(diǎn)估計(jì):
## invest income cons## invest．1 -0．102 0．011 -0．002## income．1 0．044 -0．031 0．168## cons．1 0．074 0．140 -0．287## invest．2 -0．013 0．002 0．004## income．2 0．015 0．004 0．315## cons．2 0．027 -0．001 0．006## invest．3 0．033 0．000 0．000## income．3 -0．008 0．021 0．013## cons．3 -0．043 0．007 0．019## invest．4 0．250 0．001 -0．005## income．4 -0．064 -0．010 0．025## cons．4 -0．023 0．001 0．000## const 0．014 0．017 0．014
還可以通過(guò)計(jì)算變量的均值來(lái)獲得每個(gè)變量的后驗(yàn)概率。從下面的輸出中可以看出,在VAR(4)模型中似乎只有幾個(gè)變量是相關(guān)的。常數(shù)項(xiàng)的概率為100%,因?yàn)樗鼈円褟腟SVS中排除。
## invest income cons## invest．1 0．43 0．23 0．10## income．1 0．10 0．18 0．67## cons．1 0．11 0．40 0．77## invest．2 0．11 0．09 0．14## income．2 0．08 0．07 0．98## cons．2 0．07 0．06 0．08## invest．3 0．19 0．07 0．06## income．3 0．06 0．13 0．10## cons．3 0．09 0．07 0．12## invest．4 0．78 0．09 0．16## income．4 0．13 0．09 0．18## cons．4 0．09 0．07 0．06## const 1．00 1．00 1．00
給定這些值,研究人員可以按照常規(guī)方式進(jìn)行操作,并根據(jù)Gibbs采樣器的輸出獲得預(yù)測(cè)和脈沖響應(yīng)。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于它不僅考慮了參數(shù)不確定性,而且還考慮了模型不確定性。這可以通過(guò)系數(shù)的直方圖來(lái)說(shuō)明,該直方圖描述了收入的第一個(gè)滯后項(xiàng)與消費(fèi)當(dāng)前值之間的關(guān)系。
hist(draws_a[6,], main = "Consumption ～ First lag of income", xlab = "Value of posterior draw")
通過(guò)兩個(gè)峰描述模型不確定性,并通過(guò)右峰在它們周圍的散布來(lái)描述參數(shù)不確定性。
但是,如果研究人員不希望使用模型,變量的相關(guān)性可能會(huì)從采樣算法的一個(gè)步驟更改為另一個(gè)步驟,那么另一種方法將是僅使用高概率的模型。這可以通過(guò)進(jìn)一步的模擬來(lái)完成,在該模擬中,對(duì)于不相關(guān)的變量使用非常嚴(yán)格的先驗(yàn),而對(duì)于相關(guān)參數(shù)則使用沒(méi)有信息的先驗(yàn)。
后方抽取的均值類似于Lütkepohl(2007,5．2．10節(jié))中的OLS估計(jì)值:
## invest income cons## invest．1 -0．219 0．001 -0．001## income．1 0．000 0．000 0．262## cons．1 0．000 0．238 -0．334## invest．2 0．000 0．000 0．001## income．2 0．000 0．000 0．329## cons．2 0．000 0．000 0．000## invest．3 0．000 0．000 0．000## income．3 0．000 0．000 0．000## cons．3 0．000 0．000 0．000## invest．4 0．328 0．000 -0．001## income．4 0．000 0．000 0．000## cons．4 0．000 0．000 0．000## const 0．015 0．015 0．014
三 評(píng)價(jià)
bvar功能可用于將Gibbs采樣器的相關(guān)輸出收集到標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)象中,例如predict獲得預(yù)測(cè)或irf進(jìn)行脈沖響應(yīng)分析。
bvar_est <- thin(bvar_est, thin = 5)
預(yù)測(cè)
可以使用函數(shù)獲得可信區(qū)間的預(yù)測(cè)predict。
plot(bvar_pred)
四 脈沖響應(yīng)分析
plot(OIR, main = "Orthogonalised Impulse Response", xlab = "Period", ylab = "Response")
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